Teil 5: Sudoku indirekte Zwillinge

Teil 5: Sudoku indirekte Zwillinge

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Bei der Twin-Methode (engl.: twin = Zwilling) sucht man innerhalb aller Blöcke nach zwei Zahlen, die gemeinsam in zwei Feldern des Blocks vorkommen (da sie doppelt vorkommen bezeichnet man sie als Twins). Während die direkte Twin-Methode diese beiden Zahlen als einzige Kandidaten innerhalb der beiden Felder enthält (wobei diese Zahlen einzeln auch noch in anderen Feldern des Blocks vorkommen dürfen), dürfen bei der indirekten Twin-Methode auch zusätzliche Kandidaten pro Feld vorkommen (die Zahlen dürfen dafür aber nur genau zwei Mal pro Block vorkommen). (Beides ähnelt der Beschreibung der nackten und der versteckten Einer.) Wir realisieren hier nur die indirekte Twin-Methode, denn direkte Twins sind eher selten.

Mit dieser (zusätzlichen) Strategie kann man nun auch schwierige und einige sehr
schwierige Sudokus lösen.

Twins findet man so: Wir betrachten Block 2 eines sehr schwierigen Sudokus (das bereits einige Spielzüge mit nackten und versteckten Einern gespielt wurde und an dieser Stelle mit diesen beiden Strategien nicht mehr lösbar ist). Die Ermittlung der Kandidaten der freien Felder dieses Blocks ergibt an dieser Stelle: 1/6=1589, 2/4=12, 2/5=19, 2/6=129, 3/4=1458 und 3/5=14. Die Felder 1/6 und 3/4 sind Twins, denn nur in diesen kommt die Zahlenkombination 58 vor. Es gilt also: 1/6=5, 3/4=8 oder 1/6=8, 3/4=5. Die neuen Kandidaten lauten somit 1/6=58 und 3/4=58; alle anderen Kandidaten dieser Felder 1/6 und 3/4 können ausgeschlossen werden. Das Auffinden von Twins kommt also einem Ausschlussverfahren gleich. Betrachte jetzt Feld 3/5. Nur in diesem Feld kommt die Zahl 4 vor – ein versteckter Einer.

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Teil 4: Sudoku nackte Einer

Die Sudoku Strategie „nackte Einer“ sucht nach Feldern, die nur noch eine einzige Ziffer als Feldkandidaten besitzen.

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Diese Lösungsstrategie folgt auf Teil 3, Sudoku versteckte Einer. Der Vorteil dieser Strategie ist: Man braucht dabei nur von 1 bis 9 zählen zu können und prüft das Vorkommen dieser Ziffern in einer bestimmten Zeile, Spalte und im betreffenden Quadranten eines leeren Felds. Dabei sucht man sich ein leeres Feld aus, in dessen Umfeld (Zeile, Spalte, Quadrant) möglichst viele Vorgaben – also bereits mit Ziffern belegte Felder – zu finden sind.

Im nachstehenden Beispiel, dem 17er-Sudoku aus Teil 1, betrachten wir das rot eingefärbte leere Feld 7/6 (Bild A) in Zeile 7, Spalte 6 aus Quadrant 8. Zeile, Spalte und Quadrant weisen jeweils drei vorbelegte Ziffern auf. Offene Felder in der entsprechenden Zeile, Spalte und Quadrant sind orangenfarben markiert. Jetzt zählt man von 1 bis 9, wobei man alle Ziffern zählen darf, die in den orangemarkierten Bereichen vorkommen. Es fehlt nur die Ziffer 7 – ein nackter Einer ist gefunden. In das rot hinterlegte Feld kommt demnach die Ziffer 7; alle Spielregeln sind erfüllt.

A: sudoku_17er_nE_1 B: sudoku_17er_nE_2

Man kann die Überlegung für Feld 7/6 (Bild A) auch über die Reduzierung der Feldkandidaten in Einzelschritten wie folgt durchführen: Quadrant 8 enthält die Ziffern 1, 4 und 9; damit bleiben für das Feld 7/6 als Kandidaten die Ziffern 2, 3, 5, 6, 7 und 8 übrig. In der waagrechten Zeile 7 kommen die Ziffern 2, 6 und 8 vor; für das Feld 7/6 bleiben als Kandidaten jetzt nur noch die Ziffern 3, 5 und 7 übrig. In der senkrechten Spalte 6 kommen die Zahlen 3, 5 und die 9 vor; für das Feld 7/6 bleibt nur noch die Ziffer 7 als Kandidat übrig. Sie ist die einzige Möglichkeit für das Feld 7/6 – also ein nackter Einer.

Feld 8/8 (Bild B) enthält ebenfalls einen nackten Einer: die 3. Weitere nackte Einer sind vorerst nicht zu finden. Mit der Zeit schärft sich der Blick auf diejenigen leeren Felder, die nackte Einer beherbergen können. Die Anwendung allein der Strategie der nackten Einer erlaubt es einfache bis mittelschwierige Sudoku zu lösen, bspw. das Sudoku „sudoku_2_mittel“ auf der Sudoku-Spielplattform (zehn Spielzüge).

Kombiniert man die Strategie der versteckten Einer mit der Strategie der nackten Einer lassen sich bereits mittelschwierige bis schwierige Sudoku lösen. Für das 17er-Sudoku aus Teil 1 benötigt man aber noch zusätzliche Strategien. Die Sudoku-Spielplattform schafft mit den genannten beiden Strategien immerhin schon sechs Spielzüge.

Zum nächsten Kapitel Teil 5: Sudoku indirekte Zwillinge.

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Teil 3: Sudoku versteckte Einer

Die Sudoku Strategie „versteckte Einer“ erweitert das einfache Sichten von Ziffern, indem man Feldkandidaten aus anderen Quadranten abfragt.

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Inhalt Teil 3
Diese Lösungsstrategie baut auf Teil 2, den Sudoku Feldkandidaten auf. Bei dieser Strategie greift man sich einen Feldkandidaten, den man durch Sichten und Sperren ermittelt hat, heraus, und prüft das Vorkommen dieser Ziffer in der jeweiligen Zeile und/oder Spalte des betreffenden Quadranten mit der Vorgabe, dass sie laut Spielregel genau einmal darin vorkommen muss. Bleibt nur eine Lösung ist dies der versteckte Einer.

Versteckte Einer
Im nachstehenden Beispiel, dem 21er-Sudoku, betrachten wir das rot eingefärbte leere Feld 1/8 (Bild A). Offene Felder in der entsprechenden Zeile, Spalte und Quadrant sind orangenfarben markiert. Mittels Sichten und Sperren erkennt man, dass die Ziffer 1 innerhalb des Quadranten nur in einem der drei Felder 1/8, 1/7 oder 3/7 vorkommen kann. Die genaue Kenntnis der Feldkandidaten ist dabei unwichtig.

A: sudoku_17er_vE_1 B: sudoku_17er_vE_3

Nun prüft man bspw. die Spalte 8, da die Ziffer 1 laut Spielregel genau einmal darin vorkommen muss. Im darunter liegenden Quadranten 6 findet man die Ziffer 1 bereits in der Spalte 9. Im untersten Quadranten 9 befindet sich nur das leere Feld 8/8, welches die Ziffer 1 nicht als Feldkandidaten besitzen kann (Grund ist die Ziffer 1 in Feld 8/5). Damit bleibt das Feld 1/8 als einzige Möglichkeit für die Ziffer 1 stehen – ein versteckter Einer ist gefunden.

In Bild B erkennt man mittels einfachem Sichten, dass die Ziffer 8 nur noch im rot eingefärbten Feld 8/2 oder im Feld 9/2 darunter vorkommen kann. Im benachbarten Quadranten 8 sind die Felder der Zeile 8 (8/4, 8/5 und 8/6) mit anderen Ziffern (4, 1, 9) belegt. Im letzten Quadranten 9 ist die Ziffer 8 bereits durch Feld 7/8 belegt. Damit bleibt das Feld 8/2 als einzige Möglichkeit für die Ziffer 8 stehen – auch hier ist ein versteckter Einer schnell gefunden.

Die Anwendung allein der Strategie der versteckten Einer erlaubt es einfache bis mittelschwierige Sudoku zu lösen, bspw. das Sudoku „sudoku_2_mittel“ auf der Sudoku-Spielplattform (fünf Spielzüge).

Für das 17er-Sudoku aus Teil 1 schafft die Sudoku-Spielplattform sogar sechs Spielzüge, findet dabei aber nicht viel und bleibt dann stecken. Wichtig also, sich noch mit weiteren Strategien zu beschäftigen.

Zum nächsten Kapitel Teil 4: Sudoku nackte Einer.

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Teil 2: Sudoku Feldkandidaten

Die Ermittlung von Feldkandidaten ist die Grundstrategie in der Spielpraxis. Mit einfachen Methoden wie „Prüfen“, „Sichten“ und „Sperren“ lassen sich auch schon mal Lösungstreffer landen.

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Inhalt Teil 2
Nachdem in Teil 1 die Sudoku Spielregeln erklärt wurden, geht es nun an die ersten Spielzüge. Dabei muss man mögliche Lösungen – Feldkandidaten – für die freien Felder ermitteln und diese Feldkandidaten für ein Feld nach Möglichkeit so weit reduzieren, dass nur noch genau eine Möglichkeit – ein sogenannter „Einer“ – dafür übrig bleibt: die gesuchte Lösung.

Feldkandidaten ermitteln
Um Feldkandidaten zu ermitteln, gibt es zwei Möglichkeiten. Man kann, erstens, von freien Feldern eines Sudokus ausgehen und diese auf alle mögliche Feldkandidaten – also die Ziffern 1 bis 9 – „prüfen“. Oder, zweitens, man „sichtet“ die vorgegebenen Ziffern und „sperrt“ Zeilen, Spalten und Blöcke für bestimmte Ziffern. Beide Wege führen zum Ziel.

Feldkandidaten über freie Felder ermitteln
Diese Methode geht von den freien Feldern aus, die noch keine Feldkandidaten besitzen. In jedem freien Feld – im Beispiel des orangenfarben hinterlegten Felds 1/1 (Bild A) aus dem 21er-Sudoku – könnte theoretisch eine der Ziffern 1, 2, 3 usw. bis 9 stehen. Die Spielregeln zwingen dabei aber zu prüfen, dass jede dieser Ziffern 1 bis 9 in jeder Zeile (Bild B), in jeder Spalte (Bild C) und in jedem Block (Bild D) nur genau einmal vorkommen. Dieses Prüfen reduziert die Anzahl der möglichen Feldkandidaten; man notiert nur diejenigen Feldkandidaten, die tatsächlich möglich sind.

A: sudoku_17er_feldkandidaten B: sudoku_17er_feldkandidaten_zeile C: sudoku_17er_feldkandidaten_spalte D: sudoku_17er_feldkandidaten_block

Prüfen
In obigem Beispiel kommt in der ersten Zeile bereits die Ziffer 3 vor (Bild B), in der ersten Spalte die Ziffern 8 und 4 (Bild C) und im ersten Block die Ziffern 3, 9 und 8 (Bild D). Die Ziffern 3, 4, 8 und 9, scheiden daher als mögliche Feldkandidaten aus. Die Kandidaten für Feld 1/1 reduzieren sich somit auf die Ziffern 1, 2, 5, 6 und 7. Wir merken uns: „Feld 1/1: 12567“.

Einer
Würden sich die möglichen Kandidaten auf nur eine einzige Ziffer – einen Einer – reduzieren, könnte man diese Ziffer direkt als Wert in das Feld eintragen. Die gefundene Ziffer wäre dann die gesuchte Lösung, die alle aufgestellten Spielregeln erfüllt. Einer dieser Art nennt man „nackte Einer“, denn sie stehen ganz alleine, nackt, ohne andere Feldkandidaten da.

Feldkandidaten notieren
In der Regel enthalten freie Felder mehrere Feldkandidaten. Um sie sich merken zu können, notiert man sie am besten. Man unterteilt dazu das entsprechende Feld in ein 3×3 Gitter, in dem die Ziffern 1 bis 9 zeilenweise von oben links nach unten rechts verlaufen (Bild E). Für die in obigem Beispiel ermittelten Feldkandidaten 12567 für Feld 1/1 – gezeigt ist nur Block 1 des 21er-Sudoku – ergeben sich folgende Varianten: Klein geschriebene Zahlen (Bild F), Punkte (Bild G) oder Striche (Bild H), die man an die entsprechenden Stellen des 3×3 Gitters setzt.

E: sudoku_feldkandidaten_techniken_3x3_gitter F: sudoku_feldkandidaten_techniken_zahlen G: sudoku_feldkandidaten_techniken_punkte H: sudoku_feldkandidaten_techniken_striche I: sudoku_feldkandidaten_techniken_mauszeiger

Man muss selbst ausprobieren, welche dieser Techniken einem am ehesten zusagt. Auf der Sudoku-Spielplattform kann man sich für jedes freie Feld die Feldkandidaten anzeigen lassen, indem man mit der Maustaste – ohne zu klicken – darüber fährt (Bild I).

Feldkandidaten über vorgegebenen Ziffern ermitteln
Diese Methode Feldkandidaten zu ermitteln geht von den vorgegebenen Ziffern aus und nimmt für jedes leere Feld die Feldkandidaten 1 bis 9 als gesetzt an. Man sichtet nun die Spielfläche, indem man auf das Vorkommen der verschiedenen Ziffern in den Spielfeldern achtet. Mit den Ziffern, die häufiger vorkommen, beginnt man. In deren Zeilen, Spalten und Blöcken werden die Feldkandidaten mit dem Wert der Ziffer gesperrt, d. h. aus dem Vorrat der Feldkandidaten 1 bis 9 weggestrichen.

Sichten und Sperren
Im 21er-Sudoku (Bild J) lässt sich durch einfaches Sichten erkennen, dass bspw. die Ziffer 8 häufig auftritt. Die Ziffern 8 sind in Bild K orangenfarben umrandet: für jede Ziffer 8 wurde deren Zeile (Zeilen 3, 4 und 7), Spalte (Spalten 1, 3 und 8) sowie deren Block (Blöcke 1, 4 und 9) gesperrt. Die betrachtete Ziffer kann jetzt nur noch in den leeren, nicht gesperrten Feldern vorkommen. Man untersucht nun diejenigen (nicht gesperrten) Blöcke, die möglichst wenige freie Felder aufweisen. Für die Ziffer 8 findet sich die geringste Auswahl an freien Feldern im linken unteren Block 7, die beiden betreffenden Felder 8/2 und 9/2 sind in Bild L rot hinterlegt.

J: sudoku_21er K: sudoku_21er_sichten_0 L: sudoku_21er_sichten_8

Erste Lösungstreffer
Weiteres Sichten und Sperren mit den anderen Ziffern ergibt unterschiedliche Resultate. Leere Felder in Quadranten mit der geringsten Anzahl gefundener Felder sind rot hinterlegt. Für Ziffer 1 findet man einen Lösungstreffer in Feld 9/7, Block 9 (Bild M). Für die Ziffer 6 ergeben sich zwei Blöcke mit zwei Feldern (Bild N). Für die Ziffer 9 findet man zwei Blöcke mit drei Feldern (Bild O). Je weniger Felder man findet, desto näher ist man an der Lösung.

M: sudoku_21er_sichten_1 N: sudoku_21er_sichten_6 O: sudoku_21er_sichten_9

Einer
Reduzieren sich beim Sichten und Sperren einer Ziffer die freien Felder auf nur noch ein einziges Feld – einen Einer – kann man diese Ziffer direkt als Wert in das Feld eintragen. Dieser Einer ist ein „versteckter Einer“; das Feld selbst kann noch mehrere Feldkandidaten besitzen, aber für die untersuchte Ziffer verbleibt das Feld als einzige Möglichkeit.

Feldkandidaten notieren
Für die in den Bildern M, N und O gezeigten mittleren Block 5 ergeben sich für die Ziffern 1 und 9 jeweils gleich mehrere Feldkandidaten, die man in die entsprechenden Felder von Block 5 des 21er-Sudoku notieren kann (Bild P). Aber auch die nicht möglichen Feldkandidaten sollte man eintragen, bspw. als durchgestrichene Ziffern (Bild Q) oder indem man an entsprechender Stelle einen Strich setzt (Bild R):

P: sudoku_21er_block_5_1 Q: sudoku_21er_block_5_2 R: sudoku_21er_block_5_3

Am Ende des Teil 2
Sie wissen jetzt was Feldkandidaten sind und kennen mehrere Methoden um Feldkandidaten zu ermitteln: ausgehend von leeren Feldern – diese prüfend – und ausgehend von vorgegebenen Feldern – diese sichtend, anschliessend begleitet durch Sperren von Zeilen, Spalten und Blöcken. Die Anwendung dieser Methoden ist die erste Wahl der Spielpraxis und wird nach Möglichkeit immer wieder wiederholt. In den folgenden Teilen werden Sie zusätzliche Lösungsstrategien kennen lernen, die aus Ihren Feldkandidaten Einer hervorbringen, auch wenn man diese auf die hier beschriebene Weise noch nicht erkennt.

Zum nächsten Kapitel Teil 3: Sudoku versteckte Einer.

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Teil 1: Sudoku Spielregeln

Lerne in fünf einfachen Teilschritten die Sudoku Spielregeln. Am Ende löst du mühelos auch schwierige Sudokus. Versprochen!

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Inhalt Teil 1
In diesem Teil werden die Grundlagen des Sudoku-Spiels vermittelt. Am Ende dieses Teils kennen Sie die Spielregeln, die Spielfläche und können sicher mit Feldern, Zeilen, Spalten und Blöcken umgehen.

Spielregeln
Das Sudoku gehört zu den weltweit bekanntesten Rätselspielen. In der klassischen Variante, wie sie hier beschrieben ist, geht es darum, ein 9×9-Gitter als Spielfläche so mit Zahlen auszufüllen, dass die Ziffern 1 bis 9 in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jedem Block – einem aus 3×3 Feldern bestehendem Untergitter – nur genau einmal vorkommen. Damit sind schon alle Spielregeln definiert.

Spielfläche
Die nachfolgenden Bilder zeigen Beispiele für die Spielfläche (Bild A), die erste Zeile (Bild B), die erste Spalte (Bild C) und den ersten Block (Bild D). Es gibt insgesamt 9 x 9 = 81 Spielfelder, die sich in jeweils 9 Zeilen, 9 Spalten sowie 9 Blöcke aufteilen lassen.

A: sudoku_spielfeld B: sudoku_spielfeld_zeile C: sudoku_spielfeld_spalte D: sudoku_spielfeld_block

Zeilen, Spalten, Blöcke, Felder
Die 9 Zeilen werden von oben nach unten (Bild E), die 9 Spalten von links nach rechts (Bild F) und die 9 Blöcke von oben links nach unten rechts (Bild G) durchgezählt. Einzelne Felder benennt man über deren Position, bspw. ist das Feld 6/7 das rot hinterlegte Feld in Zeile 6, Spalte 7, das sich in Block 6 befindet (Bild H).

E: sudoku_spielfeld_zeile_1_bis_9 F: sudoku_spielfeld_spalte_1_bis_9 G: sudoku_spielfeld_block_1_bis_9 H: sudoku_spielfeld_feld_6_7

Beispiele für Sudokus
Zu Beginn des Spiels sind einige der Spielfelder bereits mit Ziffern von 1 bis 9 belegt. Ziel des Spiels ist es dann, die restlichen Felder mit den entsprechenden Ziffern 1 bis 9 so zu belegen, dass die oben beschriebenen Spielregeln erfüllt sind. Sudoku spielen ist dabei nie langweilig, denn es sind insgesamt 6.670.903.752.021.072.936.960 (ca. 6,7 Trilliarden) verschiedene eindeutige Lösungen möglich.

Die Mindestanzahl vorbelegter Spielfelder zu bestimmen, für die es ein eindeutig lösbares Sudoku gibt, ist bis heute noch ungeklärt. Die kleinste bisher gefundene Anzahl beträgt 17 Ziffern. Ein solches – auf Grund der geringen Anzahl vorgegebener Ziffern nicht ganz einfaches – 17er-Sudoku (Bild I) ist nachfolgend mit Lösung (Bild J) gezeigt. Die Bilder G und H zeigen ein 21er-Sudoku.

I: sudoku_17er J: sudoku_17er_loesung

K: sudoku_21er L: sudoku_21er_loesung

Weitere Informationen
Weitere Informationen zum klassischen Sudoku, so wie es hier beschrieben ist, aber auch zu anderen Sudokus, finden sich beispielsweise auf der Wikipedia-Seite Sudoku.

Am Ende des Teils 1
Sie kennen die Grundlagen des Sudoku-Spiels und können sicher mit Zeilen, Spalten, Blöcken und Feldern umgehen. Jetzt geht’s ans Spielen! In den folgenden Teilen werden Ihnen verschiedene Strategien vermittelt, um Sudokus „mühelos“ lösen zu können. Dabei werden immer einfache Beispiele herangezogen, die erlernten Strategien aber auch für obiges 17er- und 21er-Sudoku anschaulich erklärt.

Zum nächsten Teil, Teil 2: Sudoku Feldkandidaten.

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